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Ce texte est un « article presslib’ »
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C’est
Aristote qui fixa la norme en matière de démonstration,
distinguant trois familles de discours selon le statut de leurs
prémisses pour ce qui touche à la vérité. La plus
rigoureuse des trois est l’analytique dont les prémisses
doivent être reconnues comme indiscutablement vraies, suivie de la dialectique
dont les prémisses sont seulement « probables » :
vraisemblables plutôt que vraies, et enfin de la rhétorique
qui ne connaît pas de contraintes quant à la qualité des
prémisses : le discours de fiction, par exemple, en relève.
À l’intérieur même de chacune de ces trois
familles, le Stagirite distingua les types
d’argumentation utilisés en fonction de leur valeur probante.
Seule
l’analytique relève de la science et c’est donc elle qui
devrait seule présider à la démonstration
mathématique. Or, durant les Temps Modernes d’abord et durant
les Temps Contemporains ensuite, les mathématiciens recoururent
toujours davantage dans la démonstration aux types d’argumentation
les plus faibles quant à la valeur probante. On pourrait lire
là sans doute le signe d’une simple décadence dans la
manière dont les mathématiciens démontrent leurs
théorèmes. Cette lecture n’est pas fausse mais demeure
insuffisante parce qu’elle ignore le glissement «
idéologique » qui rend compte du comment et du pourquoi de cette
évolution. Ce glissement reflète en fait la conviction
croissante des mathématiciens que leur tâche ne s’assimile
pas à un processus d’invention mais à une
authentique découverte, autrement dit, que leur tâche
n’est pas de contribuer à la mise au point d’un outil mais
de participer à l’exploration d’un monde. Si l’on
souscrit à ce point de vue, la distinction se brouille entre la
science, dont l’ambition est de décrire le monde de la
Réalité-objective, et les mathématiques qui lui offrent
le moyen de réaliser cette ambition. Et cette absence de distinction
suppose à son tour, non seulement que la
Réalité-objective est constituée des nombres et des
relations que les objets mathématiques entretiennent entre eux, mais
encore que la réalité ultime inconnaissable,
l’Être-donné de la philosophie, est la source d’un
tel codage. Or une telle conviction est avérée historiquement
et, comme on le sait, caractérisa les disciples de Pythagore, au rang
desquels se comptait Platon.
Si
le mathématicien est un découvreur et non un inventeur, alors
la manière dont il inculque la preuve importe peu puisqu’il
décrit en réalité un monde spécifique, celui des
nombres et de leurs relations, et peut se contenter d’en faire
ressortir les qualités par une méthode apparentée
à la méthode expérimentale : circonscrire une
réalité et utiliser tous les moyens dont on dispose pour faire
émerger une appréhension intuitive de ce qu’elle est ;
dans cette perspective, seul compte le résultat, quelle que soit la
manière dont on s’y est pris. Dans la démonstration du
« second théorème » de Gödel, à
l’aide duquel il prouve l’incomplétude de
l’arithmétique, la faible valeur probante de certaines parties
de sa démonstration n’est pas pertinente à ses yeux puisque
sa tâche consiste selon lui à décrire un objet existant
en soi. Ne se concevant nullement comme l’inventeur de
mathématiques nouvelles mais comme un explorateur de l’univers
des nombres et de leurs proportions singulières, il n’a que
faire d’une méthodologie dont la rigueur seule garantirait le
résultat auquel il aboutit.
Les
points de vue des mathématiciens réalistes qui se
conçoivent comme découvreurs et des mathématiciens antiréalistes
qui s’imaginent inventeurs, peuvent être
réconciliés si l’on offre de leur activité
à tous une définition opérationnelle qui y voit la
génération d’un produit culturel,
c’est–à–dire relevant de la manière propre
dont notre espèce offre une extension aux processus naturels. Ce
produit culturel que les mathématiciens génèrent est une
« physique virtuelle » permettant la modélisation du monde
sensible de l’Existence-empirique en vue de sa
prévisibilité à nos yeux. Cette physique virtuelle
n’est ni contrainte de s’astreindre à la rigueur
irréprochable des modes de preuve les plus exigeants aux yeux de la
logique, ni ne doit s’imaginer décrire une
Réalité-objective constituée d’essences
mathématiques. La mise au point du calcul différentiel en
offrit une illustration lumineuse.
Paul Jorion
pauljorion.com
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le présent alinéa soit reproduit à sa suite. Paul Jorion est un
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Paul Jorion, sociologue et anthropologue, a travaillé
durant les dix dernières années dans le milieu bancaire
américain en tant que spécialiste de la formation des prix. Il
a publié récemment L’implosion. La finance contre l’économie (Fayard :
2008 )et Vers la crise du capitalisme américain ? (La
Découverte : 2007).
Les vues présentées par Paul Jorion sont les
siennes et peuvent évoluer sans qu’il soit nécessaire de
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